возведение в степень

.^ поэлементное возведение в степень

Если A или b скаляр, то он сначала реплицируется до размера другого с помощью A*ones(b) или b*ones(A). В противном случае A и b должны быть одинакового размера.

Затем для каждого элемента с индексом i вычисляется t(i) = A(i)^b(i).

^ матричное возведение в степень

В случае A либо b должен быть скаляром, а другой должен быть квадратной матрицей:

• если A скаляр, а b квадратная матрица, то A^b является матрицей expm(log(A) * b);

• если A квадратная матрица, а b скаляр, то A^b является матрицей A в степени b.

Примечания

1. Для квадратных матриц A, A^p вычисляется через последовательное перемножение матриц, если p является положительным числом, а иначе - через диагонализацию (см. примечания №2 и №3 ниже).

2. Если A квадратная и эрмитова матрица, а p нецелый скаляр, то A^p вычисляется как:

   A^p = u*diag(diag(s).^p)*u' (для вещественной матрицы A во внимание принимается только вещественная часть ответа).

   u и s определяются как [u,s] = schur(A) .

3. Если A не является эрмитовой матрицей, а p является нецелым скаляром, то A^p вычисляется как:

   A^p = v*diag(diag(d).^p)*inv(v) (для вещественной матрицы A во внимание принимается только вещественная часть ответа).

   d и v определяются как [d,v] = bdiag(A+0*%i).

4. Если A и p вещественные или комплексные числа, то A^p является главным значением, определяемым как

   A^p = exp(p*log(A))

   (или A^p = exp(p*(log(abs(A))+ %i*atan(imag(A)/real(A)))) ).

5. Если A является квадратной матрице, а p вещественным или комплексным числом, то A.^p является главным значением вычисленным как:

   A.^p = exp(p*log(A)) (то же самое, что и в случае 4 выше).

6. операторы ** и ^ являются синонимами.

Возведение в степень в Scilab является оператором с ассоциативностью справа, в отличие от Matlab® и Octave. Например 2^3^4 в Scilab равно 2^(3^4), а в Matlab® и Octave равно (2^3)^4.